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Thèses du LAMIA

Jean-Marc MOUNSAMY, Modélisation numérique de l’hydrodynamique côtière – Application à la zone portuaire de Pointe-à-Pitre. 23 Septembre 2013.

Résumé

 

Dans le cadre des travaux menés dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l’étude de schémas numériques en trois dimensions d’espace et au développement d’un modèle numérique permettant l’étude et la simulation hydrodynamique d’un domaine physique proche d’un contexte environnemental. Nous avons pour cela choisi d’étudier la forme tri–dimensionnelle instationnaire des équations de Navier–Stokes incompressible. Ces équations sont issues du domaine de la physique et permettent de simuler le comportement de certains fluides. Deux formulations distinctes vont être étudiées : la formulation classique d’une part et la formulation hydrostatique d’autre part.
La formulation hydrostatique est utilisée lorsque certaines conditions notamment de dimensionnement sont vérifiées par le domaine. A ces conditions peuvent s’ajouter des hypothèses supplémentaires concernant la vitesse du fluide étudié.
La difficulté principale dans la résolution des équations de Navier–Stokes réside dans le couplage qui existe entre le champ de vitesse et le terme de pression. Trois grandes familles de méthodes de résolution sont généralement utilisées pour résoudre la formulation classique : les méthodes de pénalisation de la divergence, les méthodes de type Uzawa et les méthodes de projection. La méthode utilisée au cours de nos travaux appartient à cette dernière famille, elle permet de découpler le champ de vitesse et le terme de pression à l’aide d’une marche en temps fractionnaire. Le procédé mis en œuvre se scinde en deux étapes : au cours de la première, un champ de vitesse dit “intermédiaire” est calculé. Il ne vérifie pas la contrainte d’incompressibilité. Au cours de la deuxième étape, le calcul de l’incrément du terme de pression s’effectue en projetant le champ de vitesse intermédiaire sur un espace à divergence nulle. A l’issue de cette étape, le champ de vitesse et le terme de pression obtenus sont solution de la formulation classique des équations de Navier–Stokes. Une variante de cette méthode est ensuite proposée et étudiée numériquement : la méthode de projection dynamique étendue. Elle permet de calculer une solution approchée des équations de Navier–Stokes plus rapidement qu’en utilisant le solveur précédent, en fixant un critère sur la valeur de la divergence de la vitesse intermédiaire. Ce critère permet de déterminer la nécessité d’effectuer la seconde étape de la méthode de projection incrémentale standard. Une approximation est ainsi effectuée sur le champ de vitesse, cependant elle reste contrôlée dynamiquement par l’algorithme mis en œuvre.
L’étude de la formulation hydrostatique des équations de Navier–Stokes a permis de concevoir une nouvelle méthode de résolution. Cette méthode s’inspire du principe utilisé dans le cadre des méthodes de projection et met en place une marche en temps fractionnaire pour le calcul de la solution. La difficulté principale rencontrée concerne la composante verticale du champ de vitesse, elle doit vérifier la contrainte d’incompressibilité
à la fois vérifier mais aussi les conditions physiques particulières au niveau de la surface et du fond du domaine. L’étude numérique de cette nouvelle méthode a été menée et les performances obtenues ont été comparées à celle de la méthode de projection incrémentale standard appliquée à la formulation classique des équations de Navier–Stokes sur un domaine répondant aux critères de l’hypothèse hydrostatique.
Dans le cadre des simulations, la prise en compte d’obstacles et de la bathymétrie peut être effectuée de façon générale en appliquant une technique des maillages conformes ou une technique des frontières immergées. Dans le cas de la première technique, le maillage est généré en tenant compte de la forme de l’obstacle. Cependant, face à la complexité de générer un maillage de bonne qualité et au coût très élevé associé a l’utilisation d’une telle technique, le choix a été fait de lui préférer une méthode des frontières immergées. Dans le cas de cette dernière, la géométrie complexe de l’obstacle est intégrée au domaine de calcul plus grand, permettant une mise en œuvre simplifiée de la méthode. La méthode des frontières immergées considérée est la méthode de pénalisation de volume. Appliquée aux équations de Navier–Stokes, elle consiste en l’ajout d’un terme de pénalisation aux équations, permettant l’obtention d’un champ de vitesse de toutes petites valeurs au sein des obstacles et au niveau du fond du domaine. En effet, l’idée sur laquelle se base la méthode de pénalisation est que les obstacles solides peuvent être considérés comme des milieux poreux avec une très faible perméabilité.
Le schéma en temps utilisé pour approcher la dérivée temporelle des équations de Navier–Stokes est une formule aux différences rétrogrades d’ordre 2. Le terme non–linéaire est approché par une formule d’extrapolation semi–implicite d’ordre 2.
L’étude discrète de ces équations est menée en utilisant la méthode des volumes finis. Cette méthode présente l’avantage de satisfaire la propriété de conservation locale du flux numérique au sein du domaine discret. Cette propriété revêt un caractère important pour la simulation des fluides car elle est en lien avec la propriété de conservation de la masse du fluide réel. Le maillage utilisé est particulièrement adapté aux équations étudiées, il est obtenu en application de la méthode MAC (Marker And Cell). Cette méthode, robuste et performante, est utilisée pour la simulation numérique de nombreux types d’écoulements. Elle associe à chaque inconnue des équations de Navier–Stokes, une grille de discrétisation et propose une disposition décalée des grilles les unes par rapport aux autres.
Toutes les simulations et études numériques réalisées dans le cadre de cette thèse ont été effectuées à l’aide d’un nouvel outil conçu au sein de cette thèse. Cet outil est un code de simula­tion baptisé VivAn’O. Il a été implémenté en Fortran 90 qui est un langage de programmation largement utilisé dans le milieu industriel et académique. Sa conception s’inspire du modèle objet, ce qui lui assure une pérennité face aux évolutions et aux modifications éventuelles. VivAn’O peut être qualifié de code de mécanique des fluides. Il a en effet, passé des tests spécifiques qui ont permis la validation de sa conception ainsi que sa capacité à reproduire correctement le mouvement des fluides.
Au cours de ce travail, nous nous sommes aussi intéressés à la simulation numérique appliquée à un environnement réel. Le domaine de simulation sur lequel a porté notre étude est la zone portuaire de Pointe–à–Pitre. Cette étude sort du contexte académique et a nécessité le développement d’un outil spécifique. Grâce à ce dernier, les données brutes issues d’une campagne de levée bathymétrique ont pu être traitées et analysées. Ces données ont ensuite été intégrées au code VivAn’O afin d’obtenir une simulation des courants au sein d’une configuration simplifiée de la zone portuaire.

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